2. Matematika

1. Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel x adalah

\LARGE\boxed{\LARGE\boxed{{ax^{2}+bx+c=0}}}
a,b,c\in \mathbb{R},a\neq 0
\left\{\begin{matrix} a=koefisien\: x^{2}\\ \\ b=koefisioen\: x\\ \\ c=konstanta \end{matrix}\right.

dengan   .

2. Penyelesaian Persamaan Kuadrat

\begin{array}{llll}\\ &&a.&Memfaktorkan\\ &&&\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )=0,\quad atau\\ &&&\displaystyle \frac{1}{a}\left ( ax-p \right )\left ( ax-q \right )=0,\quad jika\: koefisien\: x^{2}\: lebih\: dari\: \: 1\\ &&b.&melengkapkan\: kuadrat\: sempurna\\ &&&\displaystyle x=-\frac{1}{2}b\pm \sqrt{\left ( \frac{1}{2}b \right )^{2}-c},\quad jika\: \left ( \frac{1}{2}b \right )^{2}-c\geq 0\\ &&c.&Rumus\: ABC\\ &&&\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{array}

.

Penggunaan Diskriminan D 

\left (D=b^{2}-4ac \right )

Diskriminan dari persamaan kuadrat adalah  .

Untuk menentukan jenis akar.

Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

  • D > 0, berarti persamaan kuadrat memiliki 2 akar real dan berbeda.
  • D = 0, berarti persamaan kuadrat memilik 2 kar real dan sama/kembar.
  • D < 0, berarti persamaan kuadrat memiliki 2 akar tidak real(imajiner) dan berbeda.

3. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

  • Jumlah :  .
  • Selisih : .
  • Kali :  .
\displaystyle \mathbf{x_{1}}
\displaystyle \mathbf{x_{2}}

4. Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar-Akar    dan  .

\displaystyle \mathbf{x^{2}-\left ( x_{1}+x_{2} \right )x+x_{1}.x_{2}=0}

Fungsi Kuadrat

f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c,\qquad dengan\: \: a,b,c\in \mathbb{R}

Adalah suatu fungsi yang berupa   .

Beberapa hal yang perlu diketahui berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat adalah:

  • Jika  , kurva terbuka ke atas.
  • Jika   , kurva terbuka ke bawah.
  • Jika  , kurva memotong sumbu  x di dua titik yang berbeda.
  • Jika  , kurva menyinggung sumbu x.
  • Jika  , kurva tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x.
\left ( x_{1},0 \right )

5.1 Fungsi kuadrat jika grafiknya menyinggung sumbu X di titik   dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

\LARGE\boxed{y=f(x)=a\left ( x-x_{1} \right )^{2}}
\left ( x_{1},0 \right )\quad dan\quad \left ( x_{2},0 \right )

5.2 Fungsi kuadrat jika grafiknya memotong sumbu X di titik   adalah

\LARGE\boxed{y=f\left ( x \right )=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )}
\left ( x_{p},y_{p} \right )

5.3 Fungsi kuadrat jika grafiknya melalui titik puncak/balik/ekstrim    dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

\LARGE\boxed{y=f(x)=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}}

.

Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk umum:

A.  Bentuk Umum dan Sifat Parabola

Kurva fungsi kuadrat y = f( x ) = ax2 + bx + c, a tidak sama dengan nol ( 0 ) berbentuk parabola.

Jika nilai a > 0 maka parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai ekstrem minimum

Jika nilai a < 0 maka parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai ekstrem maksimum

Koordinat titik puncak / titik ekstrem / titik stationer / titik balik parabola adalah ( Xp , Yp ) dengan :


Xp = absis ( x ) titik puncak = sumbu simetri = absis ( x ) saat mencapai nilai maksimum/minimum
Yp = ordinat ( y ) titik puncak = nilai ekstrem/nilai stationer/nilai maksimum/nilai minimum

B. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat / Parabola

Langkah-langkah dalam membuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola ( y  = ax2 + bx + c) :

1. menentukan titik potong grafik dengan sumbu x → y = 0

kemudian difaktorkan sehingga diperoleh akar-akarnya yaitu x1 dan x2 . jika kesusahan dalam memfaktorkan coba di cek dulu nilai D nya….

jika D < 0 maka fungsi tersebut memang tidak mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

jika D > 0 maka fungsi tersebut mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat namun kita kesulitan dalam menentukannya… bisa jadi karena angkanya yang susah difaktorkan atau faktornya dalam bentuk desimal. Akar-akarnya dapat kita cari dengan rumus abc :

setelah kita mendapatkan nilai x1 dan x2 maka titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x :
( x1 , 0 ) dan ( x2 , 0 )

2. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x = 0karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )

3. menentukan sumbu simetri ( xp ) dan titik ekstrem ( yp )dari penentuan sumbu simetri ( xp ) dan nilai eksterm   ( yp ) diperoleh titik puncak grafik fungsi kuadrat/parabola : ( Xp , Yp )

Posisi grafik fungsi kuadrat/parabola terhadap sumbu x
mengulang pembahasan mengenai titik potong sumbu x → y = 0 ada 3 kemungkinan :

D > 0 → grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik
D = 0 → grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di satu titik
D < 0 → grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

dengan menggabungkan dengan nilai a nya dapat dibuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola :

C. Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

1. Diketahui tiga titik sembarang

Rumus : y =  ax2 + bx + c 

nilai a, b dan c ditentukan dengan eliminasi.

2. Parabola memotong sumbu x di dua titik ( x1 , 0 )dan ( x2 , 0 ) dan melalui satu titik sembarang.

 Rumus : y = a ( x – x1 ).( x – x2 )

nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

3. Parabola menyinggung sumbu x di satu titik ( x1 , 0 ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x – x1 )2 
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.


4. Parabola melalui titik puncak ( xp, yp ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x – xp )2 + yp
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

D. Hubungan Kurva Persamaan Kuadrat / Parabola dan Persamaan Garis Lurus